数学

くだらない数学っぽい話。

R18の小説を書いたとき、Pixivにのっけていたやつです。

※数学メインの内容ですが、R18が混ざってるので注意してください!!

第2話

sin18°=(√5-1)/4 と、黄金数=(√5+1)/2 がごっちゃになってしまう普通の高校1年生です。

プラスマイナスが反対になるだけならいいんですが、分母の2と4が違うのが厄介だなぁとおもってます。

<アフター・トーク>

空音との勝負の数日後、いつもの明依との帰り道。

私「やっぱりsin18°と黄金数が覚えられないんだけど、どうしよう?」

明依「黄金数は滅多にテストに出ないから、sin18°だけ覚えたら?」

私「そーしようとしたんだけどね、一度見てしまったものは忘れられないの。分母が2か4か、プラスかマイナスか……」

明依「sin(3π/10) = cos(2π/10) という事実を考えて、2倍角・3倍角で sin(π/10) = sin18° に統一して、三次方程式(実質二次)に持ち込めば?」

明依の言っていることは正しいのですが、三倍角の公式で符号を間違える危険性があります。

それに、どうせ二次方程式を解くんだったら、36°,72°,72°の二等辺三角形を描いて相似から求める方法がいいと思います。余弦定理からcos36°も導出できますからね。

ですが、明依がラジアンに直してくれたおかげで、いいことに気づきました。

私「sin(π/10)=(√5-1)/4 に登場する「5, 1, 4」の数字を全部足したら、10になるじゃん。これって、π/ 《10》 に繋がるよね。」

明依「紗輝、天才!」

私「符号が(√5-1)/4 か、(√5+1)/4 かだけど、sin18°はsin30°(=2/4)より小さいはずだから、当然(√5-1)/4の方を選べばいいはず。」

明依「なるほど!」

わたしたちは、普通の女子高生のおっπの1/10くらいしかありません。

前回の試合で明依とのおっπ勝負は同時イキだったので、どっちもπ/10くらいなんでしょう。

わたしたちが一人ぼっちで「sin」gleのときは、sin(π/10)=(√5-1)/4です。まだマイナスがあります。

でも、わたしたち2人が(2×π/10)、共に(cosine=「co」+sine)力を合わせれば、きっと、もっと大きな力を出せるはずです。

ほら、cos(2π/10)=(√5+1)/4 じゃないですか。

マイナスが、プラスになりました!

第3話

このページは女子高生の日常パートです。本筋とはまったく関係ないので、おっぱい積分したい人だけ読めばだいじょうぶです!

第2話で出てきた空音(そらね)も登場します。小柄で活発ですが、頭もいい女の子です。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

明依との激戦に負けたショックがまだ尾を引いているある日。

わたし・明依・空音の3人で雑談していると、さっきからスマホをいじっていた空音が、嬉しそうに画面を見せてきました。

空音「じゃーん、これがわたしのおっぱい!」

空音「そしてこれが紗輝と明依のだよ!」

関数アート?なんでしょうか…数式でおっぱいを描いているようです。そういえば昔、おっぱい関数ってのをネットで見たような…。

ちょっと賢くて、結構えっちな空音がいかにもやりそうなことです。

空音「おっぱい関数業界ではexp(なんちゃら)やln(なんちゃら)を多用する傾向にあるんだけど、そんなの使わずに10分くらいで描いてみたんだ~。」

確かに、空音のおっぱいの方は、とっさに作ったにしてはそこそこ上手です。

でも…わたしたちのおっぱい、小さすぎない?

わたしたちがしばらく戸惑っていると、空音は紙に問題を書き始めました。

空音「わたしのはこんな感じで…」

空音「貧乳はこんな感じでいいかな?」

それぞれ、2問ずつ問題が書かれています。第1問はこのグラフの回転体の半分の積分、第2問は面積の積分です。

さしあたり、第1問はおっぱいの体積、第2問はおっぱいを2本の指でつまんだ時の体積(を2次元で考えたもの)をイメージしてるんでしょうか。

空音「ほら、おっぱい関数って、積分してこそ意味があると思うんだよね。某なんちゃらサークルさんは、せっかくおっぱい関数選手権を開催してるのに、サークル名に反して、おっぱい関数はぜんぜん《積分》してないじゃん。」

確かにその通りですが、ずいぶんアブないことを言っています。

さらに空音は、こんな風に誘ってきました。

空音「ほら、せっかく2個グラフがあるんだから、明依と紗輝、どっちが早く積分解けるか勝負したら?」

……ずいぶん変な勝負ですが、でも、明依に負けっぱなしじゃいやなので、もう積分対決でもなんでもいいや、と思って受けることにしました。

私「いいよ!」

明依「ま、紗輝が言うなら。」

明依も気分がいいのか、意外とすんなり受けてくれます。

空音「ルールは簡単。それぞれどっちかグラフを選んで問題を解いて、正解するのが早かった方の勝ちだよ。じゃ、この前の試合に勝った明依、どっちの積分がいいか先に選んで?」

明依は数式を見比べます。双曲線のグラフか、三次関数+楕円のグラフか、です。

明依「三次関数は計算間違えそうだし、双曲線のほうは式一本で簡単そうだから、こっち!」

と言って、双曲線のグラフをとりました。

わたしはちぇっと思いながら、三次関数と楕円のグラフをとります。

わたしたちはお互い学力も同じくらい。勝てることを願います。

空音「それじゃ、よーいどん!」

<<第1問・紗輝視点>>

特に方針を考えることはありません。y≧0の三次関数の部分と、y≦0の楕円の部分に分けるだけです。

まずは上側の回転体の体積V1。さっそく、積分の式を立てていきます。複雑な分数の定数を、文字定数で置いておくのは定石です。

私「うげっ」

思わず声が漏れてしまいます。4次関数を積分することになってしまいました。

でも、幸い項数が多くありません。複雑な分数式ですが、なんとか解ききってみせます。

ぜい、ぜい、はぁ、はぁ。しんどい計算です。だいぶ長い戦いでした。

でも、pは最後まで文字のままにしておいたから、必要最低限の労力で済んだかな?

ともあれ、これで上側のV1は完了です。

下の楕円の回転体V2は楽勝ですね。球を拡大したものですから! 

そして最後に、V1とV2を足してVを求めます。

空音に見せたら、「せ、い、か、い」と耳に息を吹きかけるように、優しく耳打ちされました。ふつうに言えばいいのにわざわざ…。

さてと、この積分を解くのにだいぶ時間を使っちゃいました。

もう明依はとっくに第1問は解き終わってるだろうなぁと思って横を見ると、あれ、意外と明依も苦戦しています。簡単な式1個なのに? 

…いまは余計なことを考えていてもしかたありません。次に行きましょう。

<<第1問・明依視点>>

第1問は回転体。2乗するんだから、ルートが外れてめっちゃ簡単になるはず!

うきうきする気持ちを抑えて、積分の式を立てて気づいちゃった。

あれ、これ、ぜんぜん簡単じゃないじゃん! ルートの中に2乗が入ってる形だよ!

……そっか。x軸周りに回転させたら簡単だけど、今回はy軸周りの回転だからだ。

三次関数を選んだ方がましだったのかな?

ま、いまは集中、集中。えっと、ルートの中に2乗が入ってる形って、
たしか、y=(定数)×tan tって置換するんじゃなかったっけ。

あれっあれっ…

泣きたいよぉ… (cosΘ)^(-3)って、どう積分するんだっけ…

えっと、えっと、公式は覚えてないし、やっぱり置換?

cos^2=1-sin^2として、あれっ?あれっ???????????? だめだ…

分母と分子にcosΘをかけて、置換しても…その先が進まないよぉ…

だめだ。第2問から解こ。

隣を見たら、もう紗輝も第2問に入ってる……

<<第2問・紗輝視点>>

面積計算は体積よりまだましです。でも三次関数の積分って、やっぱなんかだるい…

符号や係数を間違えたり悪戦苦闘すること数分。

なんとか、三次関数のほうの面積S1が出ました。

最初、pを代入するのがめんどく思えましたが、うまいこと1/√2に置き換えられるスポットを発見したんです。

さきちゃんてんさい!

あとは楕円の面積。一瞬ですよ。

やっと答えが出ました!

<<第2問・明依視点>>
急がなきゃ。

でも面積計算なら巻き返せるはず。そもそも、わたしのは積分しなきゃいけない式が1個だけなんだから。

えっと、式を立てて…

また、ルートの中に2乗が入った形が出てきちゃった。どうするんだっけ?

こんどはルートの中の定数の符号がマイナスだから、x=8/7+sin t で置き換えてみたらうまくいくんだっけ?

…あれっ、そしたらルートの中がマイナスになっちゃうよね?

そっか。x=sinΘができるのは、「√(1-x^2)」の時じゃん。

やっぱり第1問みたいに、今度こそx=tanθ?

でもtant^2-1は変形のしようがないよぉ・・

えっ? マジでどうするの?

えっ? 

慌て続けること数分。

第1問も第2問もわたしはぜんぜんわからないのに、紗輝が「できた!」と嬉しそうに叫んで…

空音「はいっ、紗輝の勝ちっ!」

えっ…

ぜったいわたしが勝てるはずだったのに…

<<紗輝視点>>

わたしが完答したとき、明依はまだ問題を解いているところでした。わたしの勝ちです! やった!

明依は唇をとがらしてわたしを見ています。

数分待っても明依が答えを出せそうにないので、わたしも一緒に考えてみることにしました。

ルートの中に2乗が入っている形、どこかで見たことある気もするのですが、ぜんぜんわかりません。

あれっ?あれっ と二人して首をひねります。

見かねた空音が、得意気に解説をはじめました。

空音「空音のパーフェクト積分教室、はっじまるよー」

空音「双曲線の積分は、x=tan tとかで置換するのはかなり難しいんだ。ちょっとテクが必要だから、ここからの展開、しっかり覚えといてね。」

空音は双曲線の式に立ち戻ると、両辺を2乗して、「2乗ー2乗」の形を作り因数分解。一方をt, もう一方を(1/t)とおき、そしてxとyをtの式で表しました。

なるほど、1つの文字を1つの文字で置換するのではなく、対称的な形を1組つくって置換するってことですね。因数分解をすることで、「2乗」という厄介なパーツを置換せずに済みます。「定数」と「2乗」を積分するより、「1次式」と「マイナス1次式」を積分するほうが楽です。そこがポイントなのかな。

空音「この置換ができれば、文字をxかyにそろえて計算していくだけ。あとはできるはず!」

そういわれて、まずは簡単な第2問(面積)からやってみます。

確かに計算が進みます。ただ、その過程でαと置いた面倒な定数を、最後は代入しなきゃいけません。

明依「αの二次方程式解いて、さらにその答えを2乗するの?めんどいなー」

私「しかも、αは二次方程式だから、解が2つあるじゃん。どっち選べばいいの??」

空音「そ。教科書ではあんまり言及されないけど、ここが第2の壁だね! いったん元に戻って、こうすればいいよ!」

空音「まず、こうやって2次方程式を回避するの。x=0のときにyが何かを考えて(今回は積分の式からy>0)、2つセットで処理するよ!」

わたしと明依は、空音の鮮やかなテクに見とれています。こんな技…はじめて…

私「対称性を意識するってことだね!」

空音「うん♪そういうこと! さらにこうすれば、α の2乗だってやらなくていいんだよ!」

空音は手を高速で動かします。


空音「logの中の符号に注意してっと…できあがり!」

攻めにくいαの2乗の形を崩し、さっき出てきたα+1/α, α-1/αを用いることで、3点同時にきれいに攻めました。

明依「すごい…」

明依も驚いています。こんな風に細部まで丁寧な攻めができるのが、空音の強さかもしれません。

空音「実は、あと1ステップあるよ」

どうやら、空音はまだ何か言いたいみたいです。

空音「いまやったみたいに、因数分解→tの置換っていうのは確実な方法だけど、それより計算を少し楽にする工夫があるんだ」

そういえばいまやった積分では、tの分数式が出てきて、積分をちょっと間違えそうになりました。

空音「指数関数って微積がかんたんでしょ?だから、tじゃなくて、e^sっておくの。」

明依「わかった! さっきtだったところを置き換えるから簡単だね! 次は体積の問題、いってみよ!」

明依はこう言って、第1問の体積の問題を解き始めました。

明依「なんか、おかしい…」

私「ん?」

明依「だって、正のはずの指数関数を足して、負の値になっちゃったもん。βが実数じゃないってこと???」

空音はニヤニヤしています。

空音「明依って、やっぱ符号弱くない? じつは負なのに、正だって思ってたり…」

わたしたちは数分考え、やっとわかりました。

最初に「x-8/7+√15y/7」を「e^s」って置いた時点(赤文字)で、「x-8/7+√15y/7」が「正」って勝手に決めつけちゃっています。そこが原因です!

明依「ここがミスの原因なのはわかったけど、x-8/7+√15y/7の符号なんて、どうやってわかるの?」

空音「そんなときはグラフだよ!」

空音「x-8/7+√15y/7が正の領域は青で、x-8/7-√15y/7が正の領域は緑で塗ってるよ~」

なるほど、一目瞭然です。というか、いま置き換えていた「x-8/7+√15y/7」や「x-8/7-√15y/7」って、おっぱい双曲線の漸近線なんですね!

明依「x-8/7±√15y/7はどっちも負じゃん… そりゃe^sで置いてもうまくいかないね。…でもだからって、どうすればいいんだろ?」

空音「ずっと負なんだから、マイナスをつければいいんだよ!」

いわれてみればそうです。改めて計算しなおします。

ふへぇ… やっと答えが出ました。計算が「比較的簡単」といってもかなり大変です。「e^s-e^(-s)」と、「e^s+e^(-s)」のパーツを作り出したあと、e^β-e^(-β)=p, e^β+e^(-β)=qとして整理してみるのがやっと。

最終的な答えは意外ときれいになりました。三桁の分数が出てこないなんて。

じゃあ、わたしのおっぱいもきれいってことでしょうか? でもやっぱ貧乳じゃなぁ……

ともあれ、頭も体もへとへとですが、なんとか解答終了。

空音「おめでと!! それじゃ、今日のまとめだよ!」

空音「双曲線になる関数を積分するときは、こんなふうに因数分解してから、それぞれtやe^tで置き換える、ってこと。x=tan tで置き換えたあと、1/(cost)^3を積分する道はあるんだけど、かなり長くなっちゃうんだ。」

私「ま、どう頑張っても計算がめんどかった…。双曲線の関数は、あんまやりたくない積分だね。」

空音「いちおう、t=x+√(x^2+a)とするやり方もあって、これが最速っちゃ最速みたい。」

明依「初めからそれでやればよかった」

空音「でも、t=x+√(x^2+a)は覚えづらいし、応用が効きにくいからね。やっぱり因数分解ルートを個人的にはおすすめしとくよ!」

符号を間違えるといやだし、わたしは因数分解したあとは、素直にtで置くことにします。

あ、そうそう、明依って、最初にも符号ミスをしてますよね。ほら、下の赤で囲ったところ、符号はマイナスです!

符号が弱点ってわかっても、明依の体の弱点はなかなかわかりません…

次やる時までに、明依のどこが弱いのか知っておきたいところです。

リベンジマッチのリベンジでは、3-0でコテンパンにして、情けない明依の姿をじっくり拝ませてもらいましょう!

第4話

《ここからは女子高生の日常パートになります!本編とは関係ないですっ。》

その後教室に入り、きょう提出の課題を出そうとしてノートを見返すと……

私「あれっ?」

最後の問題、やるの忘れてました!

私「えぇ~~」

なんですか、正24角形って。

複素数で処理しなさいってことなのかな?

よくわかりません。

まずは様子をつかむため、(少し誇張して)図を描きます。

正24角形の1辺(青色の直線)だけ取り出してきました。

青い直線状にP(z)をとり、半直線OPの先にQ(w)をとります。

P(z)が青線上を動くとともに、Q(w)が|w|=1/|z|(つまり OQ=1/OP)を満たすようにして動くということなので、Qの軌跡はたぶん赤線のようになるでしょう。

赤線は円弧より少し膨らんでいるのかな??

この青線と赤線の間の部分の、「貧乳おっぱい」型の面積を求めてあげて、24倍すれば答えが出ますね。

……だんだん見えてきました。

問題文こそ複素数を用いていますが、ふつうにZの式(青線の式)を出して、OQ=1/OPと, OQ=(実数)×OPの条件から、Qの軌跡の式を出してあげればよさそうです。そしたら積分もできますね!

時計を見ると、授業開始まであと10分。いけるかなっ!

まずは直交座標に直して、青線の式を求めます。

えっと、(1, 0)と(cos(π/12),sin(π/12))を通るから……

次に、O・P・Qは同一直線上ということを意識しながら、OQ=1/OPの条件を使います。
(※PがOと一致することはないので、OP≠0は保証されているから、この条件はOP×OQ=1と同値。あとOQ≠0でもある)

あとはかんたんに行けるかな?

うっそでしょ!

なんで円になるのよ!

「円弧に見せかけて円弧じゃない」っていう問題かと思ったら、「円弧に見せかけて円弧じゃないふりをする別の円弧」でした。

ルートとかの式が出てくると思ってたのですが…。

完全に目算が狂ってしまいました。

ダメです。残り時間でここから面積を求めるのはつらいかも…。

「中心が変なところにある、中心角がナゾの扇形」の面積を求めなきゃいけないですからね。

というか、赤線が円弧ってわかってたら、ちょこっと回転させてこんな風にするべきでした。

この図なら、青線の式も x=cos(π/24) と一発で出ます。

「x^24=1の解」ということに惑わされすぎてました…。

ま、さきほど導出した円の式も無駄ではなくて、その中心を -π/24 回転させれば、この図に合わせられます。

そしたらたぶん求積できるのですが、夜遅くまで明依とイカせあってたせいで、cos(π/24)やsin(π/24)を計算する気力もありません……。

時計を見るともう残り5分。

もう、彼女を呼ぶしかありません。

私「そらねーーーーーHELP!!」

声を上げると、空音はすぐに駆けつけてくれました。

空音はわたしより強くて、テストの成績もいい、憧れの友達です。

私「計算だるくなった!たすけて!」

わたしの解答をざっと見ると、空音はこう自信たっぷりに言い切ります。

空音「任せて! 2分で終わらせられるよ!」

こういうときの空音がいちばん頼もしい。

空音「大きな方針はいいんだけど、直交座標じゃなくて、極座標で計算すると早いかも。図はこれでいいよっ。」

空音「青線の極方程式は?」

私「えっと、まずOP=rだね。偏角は、Pからx軸に下ろした垂線を考えればいいから…」

空音「OPとOQの関係を使うと?」

私「えっと…」

空音「PとQで偏角が等しいから、うまくQの極方程式(=赤線)ができるよ」

私「うんっ。」

私「こうだねっ!」

すんなりと赤線の式が出てきました。

でも……

ここからどうするの?

空音「極方程式の積分公式で、赤線と黒線(×2)で囲まれた部分の面積出るんだけど、いける?」

私「極方程式の積分??」

いまいち耳なじみがありません。

空音「とりあえず今は、これ使って!」

空音がノートの隅にささっと公式をメモしてくれました。

なるほど?

よくわかりませんが、とりま終わらせることが先です。

これに代入していきます。

cos(π/24)とsin(π/24)の計算は回避できました。ラッキー。
でも3つの有理化が若干めんどいかなっ。

最後に黒線・青線で囲まれたとこの面積を引いて終わりです!

めちゃくちゃスッキリ計算が進んで、超シンプルな形に落ち着きました。

後でよくよく考えてみると、S1を求める際に最後の有理化はしないほうがラクだったのですが、ものすごくスパスパと消えてくれていい気持ち。

なんとか時間内に終了し、一安心です。


次の休み時間、空音がスマホの電卓を使って、さっきの答えを計算してました。曰く「マイナスになってないか確認したい」とのことですが…

空音「えっと、1辺分はこれで…」

ん??

すごいことに、0.003000…と、かなり綺麗な値です。

そして……

空音「24倍した面積Sはこれかなっ」

空音「0.0720……」

ルートばっかりの式なのに、計算してみると、小数点以下きれいに072…

072…

「おなにー」です!

やっぱり計算でいい気持ちになったのは、ナカにオナニーが隠れてたからなんですね!

もちろん、空音といっしょに大爆笑です!

一通り笑い終わった後、空音が極方程式の積分についてちょっと説明してくれました。

空音「ひぃ…ひぃ…き、きょうのせきぶんの確認だよ! 公式は覚えるというより、小さな扇形の面積を考えて、それをθで積分するって考えたほうがいいかも!」

空音「媒介変数表示になってsinとかcosがからんでるときとか、円があるときとか、極座標じゃないときでもこの積分は役立つことがあるよ!」

なんとなく聞き流しますが、やっぱりあの072の印象が強すぎて、まったく頭に入りませんっっ!!

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